جدول المحتويات:
- اليونانيون
- بلاك اند سكولز
- دلتا
- جاما
- ثلاث طرق لحساب التغيير في قيمة المركز
- 1. حساب الربح باستخدام التدفق النقدي
- 2. حساب الربح باستخدام دلتا
- 3. حساب الربح باستخدام جاما
اليونانيون
الإغريق - دلتا ، جاما ، ثيتا ، فيجا ، ورو - هم خمسة متغيرات تساعد في تحديد مخاطر مركز الخيار.
المخاطر التي يواجهها المستثمرون في الخيارات ليست أحادية البعد. من أجل التعامل مع ظروف السوق المتغيرة ، يجب أن يكون المستثمر على دراية بحجم هذه التغييرات. لمعرفة ما إذا كانت التغييرات كبيرة أم صغيرة ، سواء كانت تخلق مخاطرة كبيرة أو ثانوية ، توفر نظرية الخيار ونماذج تسعير الخيار للمستثمرين متغيرات تحدد خصائص المخاطر لمركز خيارهم. يشار إلى هذه المتغيرات باسم اليونانيين. هناك خمسة يونانيين نرصدهم: دلتا ، جاما ، ثيتا ، فيجا ، ورو.
نظرًا لأن الإغريق مشتقات من صيغة Black & Scholes ، فسنبدأ بشرح المزيد عن ذلك.
بلاك اند سكولز
تُعد صيغة Black and Scholes ، التي تُعرف أحيانًا باسم معادلة Black و Scholes و Merton ، الأداة القياسية في السوق لخيارات التسعير. خيار أسعار هذه الصيغة كدالة لسعر السهم الحالي S 0 ، ووقت استحقاق الخيار T ، والإضراب X ، والتقلب σ ، وسعر الفائدة r:
استدعاء = S 0 N (d 1) - Xe -rT N (d 2)
وضع = Xe -rT N (-d 2) - S 0 N (-d 1) مع
حيث N (x) هي دالة التوزيع الطبيعي التراكمي للتوزيع العادي القياسي ، أي احتمال أن يكون المتغير العشوائي ~ N (0،1) (مع التوزيع الطبيعي القياسي) أقل من x.
قبل مناقشة الصيغة ، دعنا نذكر الافتراضات الأساسية. تفترض صيغة بلاك اند سكولز:
- العوائد هي IID (مستقلة وموزعة بشكل مماثل) مع توزيع عادي.
- التقلبات المستقبلية معروفة وثابتة.
- سعر الفائدة المستقبلي معروف وثابت ونفس الشيء بالنسبة للاقتراض والإقراض.
- مسار المخزون مستمر ، والتداول المستمر ممكن.
- تكاليف المعاملات لاغية.
لتطوير النظرية ، نفترض أن كل هذه الافتراضات تصمد. هذه الصيغة هي معيار السوق لأنها قوية للغاية فيما يتعلق بانتهاكات افتراضاتها.
دلتا
أول يوناني سيتم مناقشته هو الدلتا. الدلتا هي في الأساس حساسية القيمة النظرية للخيار للتغير في سعر العقد الأساسي. بشكل أكثر وضوحًا ، الدلتا هي تغيير قيمة الخيار عندما ترتفع القيمة الأساسية بمقدار دولار واحد. فمثلا:
Δ call = ∂c / ∂S = N (d 1) and Δ put = ∂p / ∂S = N (d 1) - 1 ،
مع N (d 1) كما في صيغة BS.
تزداد قيمة خيار الشراء عندما يرتفع سعر السهم ، وبالتالي فإن دلتا خيار الشراء تكون إيجابية. على العكس من ذلك ، تنخفض قيمة خيار البيع عندما يرتفع سعر السهم ، وبالتالي فإن دلتا خيار البيع تكون سالبة.
يمكن للمرء أن يلاحظ أن N (x) هي دالة كثافة احتمالية ، لذلك فهي تأخذ قيمة. عندئذٍ تكون دلتا مكالمة واحدة دائمًا في ودلتا واحدة يتم إدخالها. نظرًا لأن المستوى الأساسي عادةً ما يكون 100 سهم ، يتم ضرب دلتا الخيار في 100. على سبيل المثال ، يعتبر الخيار الذي يحتوي على دلتا 0.25 بمثابة دلتا 25. وكلما كانت الدلتا أعلى ، كلما كان تغيير قيمة الخيار أكثر تشابهًا يكون للسهم الأساسي. ستتحرك قيمة الخيار مع دلتا 100 بالضبط بنفس معدل السهم الأساسي. لاحظ أيضًا أن العملية المشتقة خطية حتى نتمكن من حساب دلتا لكل خيار ونجمعها للحصول على دلتا للمحفظة بأكملها (يمكن أن تكون بعد ذلك خارج بالطبع).
عندما يقترب أحد الخيارات من انتهاء الصلاحية ، ستتغير دلتاه ، نظرًا لأن احتمال انتهاء الصلاحية داخل أو خارج المال يتغير ويضيق التوزيع الطبيعي ويتركز حول المتوسط. مع اقتراب أحد الخيارات من انتهاء صلاحيته ، ستنتقل خيارات الأموال المتاحة نحو دلتا 100 وستنتقل خيارات النقد غير النقدي نحو دلتا 0. من ناحية أخرى ، ستظل خيارات الأموال المتاحة حول دلتا 50.
مع تغير سعر السهم الأساسي ، تتغير دلتا أيضًا. هذا أمر متوقع حيث أن d 1 دالة لسعر السهم.
دلتا النداء
التفسير العملي للدلتا هو نسبة التحوط: مقدار الأسهم التي يجب شراؤها أو بيعها لتحييد المخاطر الاتجاهية للخيار. من صيغة BS يمكننا أن نرى تفسيرًا آخر. بشكل تقريبي ، يمكننا القول أن دلتا الخيار هي احتمال انتهاء صلاحيته في المال. (بالنسبة للوضع سنأخذ القيمة المطلقة). هذا التقريب يعمل فقط مع الخيارات الأوروبية.
تلخيصًا ، هناك ثلاثة تفسيرات للدلتا:
- التغير في قيمة الخيار إذا زاد الأساسي بمقدار 1 دولار.
- نسبة التحوط: عدد الأسهم التي سيتم شراؤها أو بيعها لتحييد المخاطر الاتجاهية للمركز.
- فرصة أن يكون الخيار في رأس المال عند انتهاء الصلاحية
← مكالمات OTM: تميل دلتا إلى 0 مع اقتراب انتهاء الصلاحية.
← مكالمات ITM: تميل دلتا إلى 100 مع مرور الوقت.
دلتا سعر البيع مقابل السعر الأساسي
دلتا مقابل التقلب
كلما زاد التقلب (ينخفض) ، تتجه دلتا النداء نحو (بعيدًا عن) 0.50 ودلتا الشراء (بعيدًا عن) -0.50. لذلك إذا ارتفع التقلب (ينخفض) فإن دلتا خيار النقود تنخفض (تزيد). في حالة وجود خيار خارج المال ، فإن هذا هو العكس تمامًا.
دلتا مقابل الوقت
مع اضمحلال الوقت ، يتحرك دلتا المكالمة بعيدًا عن 0.50 ودلتا البيع بعيدًا عن -0.50. مع مرور الوقت ، تتحرك دلتا في المكالمة المالية نحو 1 ودلتا الأموال الخارجة نحو 0.
جاما
جاما مشتق من دلتا كدالة لسعر السهم. نظرًا لأن دلتا هي مشتق من قيمة الخيار كدالة للسهم الأساسي ، فإن جاما هي تغيير دلتا عندما يرتفع سعر السهم بمقدار دولار واحد. هو مكتوب على النحو التالي:
Γ = δ 2 ج / δS 2 = N '(د 1) / S 0 σ √T
مع d 1 كما في معادلة BS و N 'أول مشتق من دالة الكثافة التراكمية الغاوسية ، وهي الكثافة المعتادة لجاوس:
جاما مقابل سعر السهم ، جاما مقابل الوقت
غالبًا ما يقول المرء أن جاما تصل إلى أقصى قيمتها عندما يكون الخيار هو ATM. هذا صحيح كأول تقدير تقريبي ، ومع ذلك ، يتم الوصول إلى الحد الأقصى الحقيقي عندما يكون سعر السهم أقل بقليل من سعر الإضراب. يظهر هذا التأثير في الجزء الأيسر من الشكل أعلاه لسهم يتداول عند 100 دولار. إعطاء X الإضراب، σ التقلب، وص حال، ووقت للانتهاء T، القيمة الاسمية للسهم توفير أقصى درجات غاما هي S ماكس Γ = اكس - (ص + 3σ ^ 2/2) T.
منحنى جاما للمكالمة والبريد متطابق. وهذا يتوافق مع ما قلناه عن المكالمات ويضع بشكل عام وكذلك جاما بشكل خاص حتى الآن.
مع انخفاض وقت انتهاء الصلاحية ، تزداد جاما وثيتا خيارات النقد. قبل انتهاء الصلاحية مباشرة ، يمكن أن تصبح هذه المتغيرات كبيرة بشكل كبير.
جاما مقابل الوقت
كما يوضح الشكل أعلاه ، يضيق الرسم البياني ولكن يظل السطح الكلي أسفل الرسم البياني دون تغيير. نتيجة لذلك ، يحصل الرسم البياني على قمة أعلى بكثير. القمة الأعلى ترمز إلى الزيادة في جاما وثيتا مع انخفاض وقت انتهاء الصلاحية.
نظرًا لسلوك مكالمات ITM و ATM و OTM ، نرى أن منحنى دلتا سوف ينحدر حول الإضراب مع اقتراب انتهاء الصلاحية. لذلك ، ستزداد جاما لخيار ATM مع مرور الوقت. ومع ذلك ، هذا ليس صحيحًا بالنسبة لخيارات OTM و ITM.
تعد جاما معلمة مخاطر مهمة لأنها تحدد مقدار الأموال التي يمكننا ربحها أو خسارتها في محفظتنا المحايدة دلتا مع تغير سعر السهم. في المثال التالي ، سنقوم بتقييم P / L لمركز الخيار كنتيجة لحركة الأصل. سنفترض أن جاما ثابتًا يبلغ 2.7 ، لذلك يتغير الدلتا بمقدار 2.7 لكل حركة للدولار الأساسي.
لنفترض أننا اشترينا استدعاء 80 1000 مرة بسعر 5.52 بسعر السهم 79 دولارًا. لكي نكون على مستوى دلتا ، يجب أن نبيع 51،100 سهم. تطور سعر السهم على النحو التالي:
| ر = | سعر السهم |
|---|---|
|
0 |
79 |
|
1 |
84 |
|
2 |
76 |
|
3 |
79 |
عند t = 1 و t = 2 ، أعد ضبط التحوط الخاص بي لكي أكون محايدة دلتا. عند t = 3 ، أغلق موقفي.
ثلاث طرق لحساب التغيير في قيمة المركز
فيما يلي ثلاث طرق لحساب التغيير في قيمة مركزنا ، الأولى باستخدام التدفق النقدي ، والثانية باستخدام دلتا ، والثالثة باستخدام جاما.
1. حساب الربح باستخدام التدفق النقدي
ننظر أولاً إلى التدفقات النقدية ، كما هو موضح في الجدول أدناه. يُظهر العمود الثاني التدفقات النقدية المتعلقة بالمكالمة والعمود الثالث المتعلق بمركز الأسهم الخاص بي. يلخص السطر الأخير الكل:
لذلك في النهاية نحقق ربحًا قدره 132300. إذا كان لدينا خيارات طويلة وبالتالي لدينا مركز جاما طويل ، نحتاج إلى شراء الأسهم إذا انخفض سعر السهم وبيع الأسهم إذا ارتفع سعر السهم (شراء منخفض ، بيع بسعر مرتفع) ، لذلك فإننا نحقق دائمًا ربحًا إذا تحرك السهم. تحقق بنفسك من أن هذا صالح لكل من المكالمات والإيداع.
2. حساب الربح باستخدام دلتا
نحن الآن نعتبر طريقة ثانية لحساب الأرباح. التداولات هي نفسها ، يختلف حساب الربح فقط. بهذه الطريقة نأخذ في الاعتبار الخيار ومركز السهم في نفس الوقت. لدينا السهم كتحوط للخيار ، لذلك دعنا فقط نفكر في إجمالي مركز دلتا. نبدأ دلتا محايدة. ثم تحرك السهم ، نحصل على دلتا. (نحسب الدلتا التي نكتسبها باستخدام الفرق بين دلتين محددين لقيم مخزون البداية والنهاية المعطاة. للحصول على متوسط دلتا أثناء الحركة ، نأخذ هذه القيمة مقسومة على اثنين). تكسب المحفظة من حيث القيمة وفقًا لدلتاها كما هو موضح أدناه.
في هذه الحالة نستخدم طريقة دلتا المتوسطة. وهذا يعني أننا:
- احسب متوسط مركز دلتا أثناء حركة المخزون.
- اضرب هذا في الفترة الزمنية لحساب الربح.
في الوقت t ، نقوم بالتحوط ، لذلك نشتري / نبيع الأسهم بحيث تصبح دلتا محايدة مرة أخرى.
دعونا ننظر إلى هذا بعناية أكبر:
- عند t = 0 ، يتم تداول الأسهم 79 ، نبدأ مركز دلتا محايد ، أي لدينا 51100 سهم قصير
- عند t = 1 ، يتم تداول الأسهم 84. دلتا لمركز الخيار هي 64.6 * 1000 (من الخيارات) -51100 (من الأسهم). بين t = 0 و t = 1 ، انتقل موقع دلتا الخاص بي من 0 إلى 13500. كان متوسط دلتا للتحرك في ذلك الوقت (13500 + 0) / 2 = 6750 (6.75 لكل مكالمة). لحساب PnL لموقفي ، أضرب هذه الدلتا بمقدار حركة المخزون: 6570 * 5 = 33.750 دولارًا. لتحقيق هذا الربح ، أحتاج إلى بيع الأسهم حتى تصبح دلتا محايدة مرة أخرى.
- عند t = 2 ، يتم تداول الأسهم 76. دلتا لمركز الخيار الخاص بي هو 43.0 * 1000 ودلتا مركز الأسهم الخاص بي هي -64600…
مثال على حساب الربح باستخدام جاما.
3. حساب الربح باستخدام جاما
في المثال أعلاه ، قمنا بحساب متوسط موضع دلتا بأخذ متوسط موضع دلتا البداية وموضع دلتا النهائي. يمكن تحقيق ذلك أيضًا باستخدام جاما ، حيث تحدد جاما التغير في دلتا لكل دولار.
دعنا نوضح كيف:
- عند t = 0 ، يتم تداول الأسهم 79 ، دلتا محايدة ، جاما 2700.
- عند t = 1 ، يتم تداول الأسهم 84. تحرك السهم بمقدار 5 ، لذا فإن موقع دلتا الجديد الخاص بي هو 5 * 2700. في بداية الحركة كانت الدلتا الخاصة بي تساوي 0 ، لذا فإن متوسط الدلتا لدي هو 5 * 2700/2. تم نقل المخزون بمقدار 5 لذا اكتسبت المحفظة 5 * متوسط دلتا = 5 * 5 * 2700/2. يتم التحوط للمحفظة بحيث تصبح دلتا الصفر مرة أخرى. نحن نسمي هذا "سلخ فروة الرأس". يتيح لك مركز جاما الطويل الشراء بسعر منخفض والبيع بسعر مرتفع.
- عند t = 2 ، يتم تداول الأسهم 76. هذه حركة 8 دولارات ، وموقع دلتا الجديد هو 8 * 2700…
يمكن للمرء استخدام الصيغة العامة التالية إذا بدأنا من محفظة دلتا محايدة:
P / L = pricemove ^ 2 * gamma / 2