كيفية حساب النسبة المئوية للتغيرات المركبة

سوروبان لبعض العد السريع

ديفيد ويلسون

ما هي النسبة المئوية للتغير المركب؟

نحن جميعًا على علم بالتغييرات في النسبة المئوية. سواء أكان خصمًا بنسبة 25٪ على تكلفة جهاز تلفزيون جديد في مبيعات الجمعة السوداء أو زيادة بنسبة 5٪ في أسعار القطارات (مرة أخرى) ، فإن تغيير المبلغ بنسبة مئوية يعد مهارة يومية. ولكن ماذا عن التغيرات في النسبة المئوية المركبة؟

تخيل أنك وضعت 100 جنيه إسترليني في حساب توفير في البنك بمعدل فائدة ثابت 4٪ يتم دفعه سنويًا. في نهاية العام (بافتراض أنك لم تلمس الإيداع الأصلي) ، ستزداد أموالك بنسبة 4٪ ، مما يمنحك 4 جنيهات إسترلينية وإجمالي 104 جنيهات إسترلينية في الحساب.

إذا تركت كل هذه الأموال في الحساب لمدة عام آخر ، فماذا سيحدث بعد ذلك؟ هل تحصل على 4 جنيهات إسترلينية أخرى وإجمالي 108 جنيهات إسترلينية في البنك؟ لا. للسنة الثانية ، لا تحصل فقط على 4٪ من مبلغ 100 جنيه إسترليني الأصلي الخاص بك ، والذي لا يزال في البنك ، ولكنك تحصل أيضًا على 4٪ من 4 جنيهات إسترلينية إضافية التي جنيتها من خلال الفائدة في العام السابق. 4٪ من 104 جنيهات إسترلينية تساوي 4.16 جنيهات إسترلينية مما يعني أنه في نهاية العام الثاني سيكون لديك 104 جنيهات إسترلينية + 4.16 جنيهات إسترلينية = 108.16 جنيهات إسترلينية في حسابك. بافتراض أنك لم تلمس المال في وقت ما وأن معدل الفائدة 4٪ يظل ثابتًا ، فستكسب المزيد من المال كل عام مع زيادة المبلغ في حسابك. هذه فائدة مركبة.

ملاحظة: إذا كنت قد تلقيت للتو 4 جنيهات إسترلينية كل عام ، فسيُعرف ذلك بالفائدة البسيطة.

كيفية حساب نسبة النمو المركب

لنلق نظرة على كيفية حساب النسبة المئوية للنمو المركب (تعرف أيضًا بالفائدة المركبة عند التعامل مع أمثلة مثل أمثلةنا).

كما في السابق ، تبدأ بمبلغ 100 جنيه إسترليني في الحساب المصرفي ومعدل فائدة ثابت قدره 4٪. يمكننا إيجاد 4٪ بقسمة 100 جنيه إسترليني على 100 لنحصل على 1٪ ثم نضرب هذا في 4. هذا رائع لمدة عام واحد ، لكن إذا أردنا حساب المبلغ الذي سنحصل عليه في الحساب 5 أو بعد 10 سنوات ، سيستغرق الأمر وقتًا طويلاً.

بدلاً من ذلك ، سنستخدم شيئًا يسمى طريقة المضاعف. إذا اتصلنا بإيداعنا الأصلي بنسبة 100٪ ، فبعد زيادة بنسبة 4٪ ، سننتهي بنسبة 104٪. لحساب 104٪ من مبلغ ما ، نقوم أولاً بتحويل النسبة المئوية إلى رقم عشري بالقسمة على 100 ، مما يعطينا 104/100 = 1.04. سيؤدي الضرب في 1.04 إلى زيادة المبلغ بنسبة 4٪ دفعة واحدة.

على سبيل المثال لدينا ، لدينا 100 جنيه استرليني لتبدأ بها ، لذا بعد عام واحد لدينا 100 جنيه استرليني × 1.04 = 104 جنيه استرليني. بعد عام آخر ، أصبح لدينا 104 جنيهات إسترلينية × 1.04 = 108.16 جنيهًا إسترلينيًا ، ثم 108.16 جنيهًا إسترلينيًا × 1.04 = 112.49 جنيهًا إسترلينيًا وهكذا. ومع ذلك ، يمكننا تسريعها أكثر.

نحن نضرب في نفس المضاعف ، 1.04 ، مرة واحدة لكل عام يمر ، لذلك إذا أردنا إيجاد إجمالي السنوات العديدة الأخرى ، فيمكننا الضرب في 1.04 مرات عديدة باستخدام القوى.

على سبيل المثال بعد 5 سنوات ، سيكون لدينا 100 جنيه إسترليني × 1.04 × 1.04 × 1.04 × 1.04 × 1.04 وهو نفس 100 جنيه إسترليني × 1.04 ⁵ = 121.67 جنيه إسترليني.

بعد 25 عامًا ، سيكون لدينا 100 جنيه إسترليني × 1.04 ²⁵ = 266.58 جنيهًا إسترلينيًا. تخيل كم من الوقت سيستغرق ذلك إذا توصلنا إلى 4٪ لكل عام على حدة!

مثال آخر على نمو النسبة المئوية المركبة

لنجرب مثالاً آخر على نمو النسبة المئوية المركبة.

يزداد عدد سكان المدينة بنسبة 12٪ كل عام. إذا بدأ من 30000 شخص ، وبافتراض أن هذه الزيادة ظلت ثابتة ، فماذا سيكون عدد السكان في غضون 6 سنوات؟ ماذا بعد 20 سنة؟

لذلك ، نحن نبدأ بنسبة 100٪ ونريد زيادة بنسبة 12٪ ، وبالتالي سننتهي بـ 112٪ وهو 1.12 كرقم عشري.

لذلك بعد 6 سنوات سيصبح عدد السكان 30000 × 1.12 ⁶ = 59215.

بعد 20 سنة سيكون 30000 × 1.12 ²⁰ = 289389.

ماذا عن انخفاض النسبة المئوية المركبة؟

يحدث انخفاض النسبة المئوية المركب (المعروف أيضًا باسم الانحلال المركب) عندما تتناقص الكمية بنفس النسبة المئوية عدة مرات. طريقة إيجاد ذلك مشابهة جدًا لإيجاد الزيادة.

لنفترض أنك اشتريت سيارة بمبلغ 20 ألف جنيه إسترليني ، وتنخفض قيمة السيارة كل عام بنسبة 15٪. نريد أن نعرف كم ستكون قيمة السيارة في غضون خمس سنوات.

يمكننا إيجاد 15٪ من 20000 جنيه إسترليني ، طرح هذا ، ثم إيجاد 15٪ من المبلغ الجديد وهكذا ، ولكن مرة أخرى ، سيستغرق هذا بعض الوقت. بدلاً من ذلك ، دعونا ننظر إلى استخدام المضاعفات كما فعلنا أعلاه.

إذا بدأنا بنسبة 100٪ ، فإن التخفيض بنسبة 15٪ يترك لنا 85٪. لذا بدلاً من التفكير في هذا على أنه إيجاد انخفاض بنسبة 15٪ كل عام ، يمكننا بدلاً من ذلك التفكير في الأمر على أنه إيجاد 85٪. 85٪ كعدد عشري هو 85/100 = 0.85 ، لذا لإيجاد 85٪ نضرب في 0.85. للقيام بذلك عدة مرات نستخدم القوى كما فعلنا أعلاه.

لذا ، بالعودة إلى مثال السيارة ، بعد 5 سنوات ، ستكون القيمة 20000 جنيه إسترليني × 0.85 ⁵ = 8874.11 جنيهًا إسترلينيًا.

بعد 10 سنوات ستكون القيمة 20000 جنيه إسترليني × 0.85 ¹⁰ = 3937.49 جنيه إسترليني.

تحقق من الفيديو أدناه لمزيد من الأمثلة.

الاهتمام المركب على قناة DoingMaths على YouTube

© 2020 ديفيد